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以“问题解决”促数学核心素养的发展

作者: 文章来源: 点击数: 发布时间:2018年05月09日

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何为数学核心素养,仁者见仁、智者见智。高中数学课程标准从数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个维度对数学核心素养给出了清晰的界定。小学阶段,目前尚无定论。

有研究者提出,小学阶段的数学核心素养,不妨从数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识这“十大核心词”出发,通过“十大核心词”的落实,推动数学核心素养的发展。亦有学者在此基础上将“十大核心词”提炼为运算能力、空间观念、数据分析观念、推理能力、模型思想,使其更显“核心”的意味。课程标准制订组组长史宁中教授则更加概括化地提出,可以从抽象能力、推理能力、模型思想三个维度,对核心素养作出界定。种种尝试,由十到五,再到三,展现了大家对核心素养之“核心”价值的追求,也的确更容易为一线教师所认识与把握。

本文的目的不在于探讨数学核心素养的真正内涵,事实上笔者也不具备这样的能力。作为一名教学实践者,笔者更愿意思考的是,无论是十大核心词,还是整合后的五大核心词,抑或三大核心思想(素养),笔者更关注的是,在具体的教学实践中,我们究竟该以怎样的教学路径使其落地生根,真正在具体的教与学活动中,让“数学核心素养”内化为学生自身的素养,真正促进学生的发展。

在此,笔者倾向于对核心素养作出这样的一种描述。所谓核心素养,即是指“人在复杂情境中解决复杂问题的能力”。尽管,从当下已经公布的中国学生发展核心素养的内容来看,这一表述忽视了“必备品格”这一重要维度,但就数学学科而言,这样的表述尽管片面,但至少给我们一种重要的启示,核心素养也好,数学核心素养也罢,其最终落脚点都离不开问题解决。只有在具体的、基于真实背景的复杂数学问题的解决过程中,人的素养抑或数学核心素养才可能得以彰显和养成。尽管,《义务教育数学课程标准(2011年版)》从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面,对义务教育阶段数学课程总目标加以了阐述,问题解决只是其中的四个维度之一,但若细思之,则不难发现:有效的问题解决,离不开具体的知识与技能,更离不开相应的数学思考;而在解决问题的过程中,人的情感、态度与价值观自然会得到充分的彰显。从这样的角度来看,问题解决实则可以理解为数学课程的“牛鼻子”,牵一发而动全身。

更进一步,我们不难发现,数学知识的习得也好,数学技能的形成也罢,事实上都可以“以问题解决的方式”展开。一旦我们试图将数学内容的学习整体纳入“问题解决”的框架之下,我们便会发现,传统视野下为了知识与技能的数学学习形态将得到有效控制,而基于问题解决,有效促进学生数学素养乃至核心素养的目标将有可能得到实现。以下,笔者结合三个具体案例,逐一作出解读与分析。

一、概念学习,在问题解决中得以落实

概念学习有其遵循的一般规律,除了概念的同化以外,通常情况下,需要经历对概念原型的观察、感知、表象、抽象和概括,最终形成对概念内涵与外延的把握。笔者曾尝试着以问题解决的方式进行概念学习,既帮助学生获得了对数学概念的准确把握,而且在问题解决的过程中,学生的探索能力、交流能力、质疑能力也在这一过程中得到有效的发展。

以苏教版小学数学三年级上册《长方形的认识》一课为例,鉴于一年级时,学生已经在初步认识长方体的基础上,整体感受过长方形,加之日常生活中长方形的普遍存在,因而,笔者没有遵循认识长方形的一般教学线索,而是直接引导学生基于原有知识经验,自己动手来“制作一个长方形”,以期学生在完成这一逻辑上貌似不可能完成的数学问题的基础上,实现对长方形概念的把握与建构。笔者给学生提供了剪刀,圆形、平行四边形、直角梯形等形状的纸片,钉子板和橡皮筋,等长的小棒等素材。学生可以选择不同的材料,以不同的方式,建构自己头脑中认为的长方形。实践证明,尽管在解决这一问题之前,学生还没有对长方形的相关特征获得相应的认识,比如它有四条边、对边相等,它有四个直角等,然而,经验、表象此时就开始发挥其应有的作用。在有限的时间内,学生各取所需、各尽所能,用各种不同的材料,建构了他们理解中的长方形。尽管,解决问题的过程中,学生所制作出的“长方形”还略显粗糙、不规范,有时甚至还有错误存在,然而,这些不规范与错误,恰恰为后续的深度对话提供了可能。“在用钉子板围长方形的过程中,你觉得需要提醒大家注意什么?”“任意根数的小棒都能围成长方形吗?围长方形的过程中,有什么注意点?”“要想用这个图形(直角梯形)剪出长方形,你有什么窍门?”“对于这位同学用圆形折出的长方形,你有什么需要提醒的?”“这位同学用这个图形(平行四边形)剪出了一个长方形,你有什么办法来验证吗?”对话与追问、碰撞与交流、质疑与解惑、实验与验证,为了说明自己制作出来的的确是一个长方形,学生动用了手头的一切工具,或测量长度,或比对角度,目的只有一个——那就是制作一个长方形。尽管,在比对过程中,有不少学生发现,自己制作的长方形离真正的长方形还有距离,于是又及时进行了修补与更正。正是在这一解决问题与分享对话的过程中,学生对于长方形的特征有了深入、深刻的认识与把握。

可以说,是问题解决牵动了数学概念的学习,是问题解决让概念学习获得了一种独特的思维张力,是问题解决让学生卷入真实的、复杂的学习情境之中。而这一过程,恰恰是学生核心素养得以养成的重要路径。

二、规律探索,在问题解决中得以建构

探索规律是苏教版小学数学教材的一大特色,也是学生数学学习的重要组成部分,是学生了解外部世界、发现蕴藏的规律、建立数学模型、运用规律模型解决问题的重要载体。教材在编排这一内容时,特别注重探索规律的“探索”意味,强调引导学生经历观察、比较、操作、归纳等过程,体验探索规律的方式方法。在此基础上,再适当引导学生运用规律解决问题。教学时,教师也常常将这一内容分成两部分展开——先探索规律,再运用规律解决问题。

笔者在实践过程中,始终强调这样一种观点:如果没有任务或问题驱动,所谓的探索规律则是“为探索而探索”,学生并不了解探索规律的目的和价值何在,他们只是在教师的引导之下,亦步亦趋地观察、比较、操作、归纳,继而发现教师所提供的“规律性材料”背后的规律。也就是说,学习的主动权并不掌握在学生手中,积极思考、主动观察、自主建模等更难以成为可能。因而,笔者在教学这一类内容时,则将探索规律这一任务“镶嵌”到解决问题的过程中,以解决问题为驱动性任务,引导学生在解决问题的过程中,主动去观察已有的素材,主动地从中发现规律、建构模型,在此基础上,再运用规律获得问题的解决。

比如四年级上册《简单的周期》一课,教材呈现的是如图1所示的主题图(彩旗中,深色为红旗,浅色为黄旗;彩灯从左至右依次为红灯、紫灯、绿灯,并有规律地排列;盆花从左至右依次为蓝花、黄花、红花,并有规律地排列),和思考任务“图中盆花、彩灯和彩旗的排列有什么共同特点”,旨在引导学生通过观察,探寻这三种事物排列的规律,进而认识简单的周期现象。

图1

笔者在教学时,打破了这一格局,直接出示主题图后,提出了这样的数学问题:“如果把盆花继续排下去,第20盆花可能会是什么颜色?”并引导学生,尝试着用不同的方法来解决这一问题。实践证明,经历充分的独立思考与尝试后,学生往往可以从如下几个不同角度来解决这一问题:有的通过画图,把三种颜色的盆花符号化为三种不同的图形,然后一直画到第20盆并得出结果;有的以文字来表达,将三种盆花分别以蓝、黄、红三个字来表征,同样“画”完20盆花后并得出结果;更多的学生则借助除法运算来解决问题:20÷3=6(组)……2(盆),所以第20盆花应该是黄花。这里的关键问题在于,学生是如何解决这一问题的?在解决这一问题的过程中,他们究竟经历了怎样的思考过程?这才是我们要重点关照的。而所谓解决问题,则是醉翁之意不在酒——解决问题只是一个“驱动性任务”,任务驱动背后的数学思考,才是这一学习任务的关键所在。事实上,只要教师追问恰当,学生的思维很快便会暴露在大家面前。“图中只画了9盆花,凭什么你在画图时,把第10盆画成蓝花,第11盆画成黄花?”“算式中的3是哪来的?”“余数中的2可以理解为第7组的第2盆,可是第7组我们并不能看见,你是怎么判断它的颜色的?”几个问题的追问,逼迫着学生的思维向探索规律上聚焦。更真实的情形是,在面临追问之前,学生已经主动经历了探索规律的过程。因为,想解决这一问题,学生就必须去从已有的素材中去发现规律。只有发现了规律,学生才能够按规律“继续画下去”,直到找到第20盆的颜色;只有发现了规律,并且是周期性规律,学生才可能列出除法算式来解决这一问题。事实上,如果盆花呈现的规律如下:ABBCCCDDDD……那么,即便是有规律的,学生也很难列出除法算式来解决这一问题。

需要说明的是,学生在解决这一问题的过程中,必然要经历探索规律的过程,只是,他们的思维有时是隐性的、不自觉的,教师的追问恰恰给了学生一次思维聚焦和重审的机会,从而将他们之前所经历的探索规律的思维过程外化出来,并在这一过程中,还原探索规律的真实历程,体验规律的意义与价值,感受规律探寻对于解决问题的独特作用。

反观上述的学习过程,当探索规律的“被动学习”因问题解决而主动化后,学生必然会自觉地根据问题的需要,主动地对已有素材进行观察、分析、比较、归纳,进而或抽象、或符号化、或模型化,这一过程,发展的恰恰是学生的各项核心素养。问题解决,让学生的素养发展成为可能。

三、规则确立,在问题解决中得以实现

小学数学教材中,有很多规则性的数学内容。既是规则,那么通常都有约定俗成的意味,所以,直接告知,进而引导学生在适当的问题引导下,理解规则的意义和合理性,就成了不少教师无奈的选择。在笔者看来,规则教学,事实上还有新的可能性存在,关键是,教师要善于创设适宜的问题情境,以问题驱动学生的数学学习,让他们在解决问题的过程中,自主建立相应的数学规则,并在这一过程中发展学生的数学思考与核心素养。

以“用方向与距离确定位置”为例,笔者浏览了苏教版、人教版、北师大版三个版本的小学数学教材,尽管就这一内容而言,它们在编排上略有差异,但总体上还是以告知的方式呈现。有些版本甚至直接在例题中出示“东偏南30°方向”,引导学生去理解这一表示方向的新规则。笔者以为,从掌握这一数学知识或技能来说,这些方法都无可厚非。但是,如果站在培养学生核心素养的立场上,这样的处理未免就缺失了一些探索的味道和研究的价值。笔者始终坚信,再抽象的数学内容、再陌生的数学方式,只要有恰当的数学问题作引子,学生总能够在解决问题的过程中自主建构相应的规则。尽管,有时候他们建立的规则还不够完整,还只是一种雏形,但这样一种基于数学问题的由无到有、由粗到精的过程,恰恰是学生数学思维、核心素养获得发展的基石。

笔者在教学时,进行了新的探索。直接呈现模拟问题情境:

在茫茫大海上,有一艘船机械故障无法正常航行,正等待救援。工作人员借助雷达发现,这艘船在离灯塔不远的位置,并很快根据它们的位置关系,画出了平面图(如图2,图上1 cm表示实际1 km)。如果你是救援指挥人员,你将如何向救援船只描述或确定机械故障船所在的位置?

图2

学生结合手中的研究任务单,4人一小组展开探索与研究。事实上,由于之前学生已经有了测量距离的经验,以及“用数对确定位置”的学习活动经验,他们往往能够结合不同的经验,给出不同的解决问题路径。极少部分学生会受“用数对确定位置”的学习经验迁移,通过绘制网格图,试图用数对来确定船的位置。当然,在随后的交流过程中,这一方法往往会遭到质疑,从而被搁置。更多的学生会主动想到通过测量距离来初步确定船离灯塔的位置。但进一步思考,他们又会产生新的困惑——离灯塔3千米的地方不止一处,仅有3千米显然无法准确找到遇险船只的位置。这个困惑继续逼迫学生的思维向前推进,“方向”这一维度,自然就进入学生的视野。于是,量角器便登上学习的舞台。只是,同样是使用量角器,不同的学生得出的结论是不一样的:有些学生通过研究,发现“船在灯塔的东北方向30度距离3千米的地方”;也有学生通过研究,发现“船在灯塔的东北方向60度距离3千米的地方”;更有甚者,直接借助军事上的方法,给出“船在灯塔的1点钟方向距离3千米的地方”。于是,新的问题产生了:“同样一艘船,为何会出现不同的表述方法?”“面对这一具体的问题,我们究竟该选择哪一种方法比较合适?”新的问题带来新的思考,学生的思维进一步向纵深聚焦。大家很快发现,之所以出现不一样的角度,是因为各自参照的初始方向不同。选择30度的,是以正北为基准,船向东偏离了30度;而选择60度的,是以正东为基准,船向北偏离了60度。于是,问题进一步聚焦为:究竟该选择以哪一个方向为基准比较合适。最终讨论的结果或许会各执一词——事实上,不同版本的数学教材在这一问题上也存在分歧,有些规定只能以正北或正南为基准,有些则东南西北均可作基准——但最终,学生经由最初的尝试、随后的交流、矛盾的冲突、深入的追问,逐渐建构起一种全新的确定位置的方式,即可以借助类似于“在灯塔的北偏东30度距离3千米处”这样的方式来确定大区域中物体的位置。至此,一个原本规定性的数学规则,在具体问题的召唤下,经由学生的主动探索、自主建构、求同存异、质疑问难,由学生自己发现了、创造了。

解决问题的过程貌似艰辛,但它却锤炼了学生的数学思考,发展了学生的数学创造,有效提升了学生的数学核心素养。